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00:00:00.360 --> 00:00:01.720
Mein Name ist Stefan Schmidt.

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00:00:01.720 --> 00:00:05.520
Ich bin Professor für Mechatronische Systeme
hier an der Hochschule Merseburg.

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00:00:06.000 --> 00:00:10.360
Und was wir hier sehen, ist ein mobiler Roboter,
ein selbstfahrender Rollator.

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00:00:11.200 --> 00:00:15.520
Und das Problem, was wir haben, ist, die Geschwindigkeit
des Systems zu bestimmen.

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00:00:15.920 --> 00:00:20.040
Wir wollen die Aufgabe heute lösen, mithilfe
der Differenzial

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00:00:20.040 --> 00:00:22.280
und Integralrechnung.

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00:00:22.280 --> 00:00:26.160
Wir gehen davon aus, dass wir die Position
des Roboters messen können

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00:00:26.320 --> 00:00:30.240
und seine Startposition bestimmen kann.

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00:00:31.040 --> 00:00:34.440
Und wenn wir das können, dann können wir
auch seine Endposition.

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00:00:37.160 --> 00:00:38.280
Messen.

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00:00:38.280 --> 00:00:42.400
Und während der Roboter dann von  X null

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00:00:42.440 --> 00:00:45.480
null nach XE fährt, können wir die Zeit messen

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00:00:45.600 --> 00:00:49.000
und aus der Zeit dann letztendlich

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00:00:49.000 --> 00:00:52.200
mit der zurückgelegten Strecke die Geschwindigkeit
bestimmen.

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00:00:52.480 --> 00:00:57.240
V ist gleich s durch t

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00:01:00.000 --> 00:01:03.000
Wenn wir das so machen, haben wir allerdings
das Problem,

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00:01:03.000 --> 00:01:07.000
dass wenn der Roboter am Anfang langsam gefahren
ist, in der Mitte schnell

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00:01:07.000 --> 00:01:08.000
und am Ende wieder langsam

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00:01:09.000 --> 00:01:13.000
wir keine Aussage über seine momentane Geschwindigkeit
treffen können,

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00:01:13.000 --> 00:01:16.000
sondern eine mittlere Geschwindigkeit nur haben.

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00:01:16.000 --> 00:01:19.000
Das wird also zu einem VM.

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00:01:19.000 --> 00:01:22.000
Mittlere Geschwindigkeit.

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00:01:22.000 --> 00:01:25.000
Wenn ich das ganze feiner aufgelöst haben
möchte,

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00:01:25.000 --> 00:01:28.000
dann kann ich zwischen Positionen einführen.

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00:01:28.000 --> 00:01:34.000
Habe also hier  ein X1, ein X2

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00:01:34.000 --> 00:01:37.000
und ein X3.

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00:01:37.000 --> 00:01:39.000
Wenn ich nun

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00:01:39.000 --> 00:01:40.000
die Zeiten messe, an denen

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00:01:40.000 --> 00:01:44.000
der Roboter an den Zwischenpositionen angekommen
ist

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00:01:44.000 --> 00:01:48.000
und dann quasi die kleineren Strecken habe,
ein Delta x bestimme

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00:01:49.000 --> 00:01:52.000
als Delta x ist gleich

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00:01:52.000 --> 00:01:56.000
xi minus xi minus 1

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00:01:56.000 --> 00:02:00.000
das heißt also die aktuelle Position minus
der vorhergehenden Position.

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00:02:00.000 --> 00:02:04.000
Dann habe ich zurückgelegte Strecke und wenn
ich dafür die Zeiten messe,

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00:02:04.000 --> 00:02:07.000
als Delta T, dann kann ich

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00:02:07.000 --> 00:02:12.000
mir eine momentane Geschwindigkeit im jeweiligen
Abschnitt definieren.

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00:02:12.000 --> 00:02:16.000
Also ein Vi asl Delta X

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00:02:16.000 --> 00:02:19.000
durch Delta t.

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00:02:19.000 --> 00:02:22.000
Das ist der Differenzen Quotient.

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00:02:24.000 --> 00:02:26.000
Wenn ich es nun ganz fein

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00:02:26.000 --> 00:02:29.000
haben möchte, das heißt also zu immer kleineren
Strecken

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00:02:29.000 --> 00:02:35.000
und zu immer kürzeren Zeitpunkten messen möchte,
dann komme ich im Grenzwert dahin,

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00:02:35.000 --> 00:02:40.000
dass sich zu unendlich schnell ein, zwei, also
unendlich fein messen muss

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00:02:40.000 --> 00:02:44.000
und dann unendlich kleine Strecken auflösen
muss.

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00:02:44.000 --> 00:02:49.000
Das heißt also, unser Differenzenquotient

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00:02:49.000 --> 00:02:52.000
wird dann zum Differenzialquotient.

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00:02:52.000 --> 00:02:59.000
Das V wird zum Dx nach Dt.

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00:02:59.000 --> 00:03:02.000
Ich bilde also die Ableitung meiner Position,
um

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00:03:02.000 --> 00:03:05.000
daraus die Geschwindigkeit zu bestimmen.

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00:03:06.000 --> 00:03:09.000
Technisch ist das tatsächlich nur begrenzt
möglich.

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00:03:09.000 --> 00:03:13.000
Ich kann nicht zu unendlich kurzen Zeiten unendlich
fein auflösen.

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00:03:14.000 --> 00:03:17.000
Für unsere praktischen Anwendungen, wie wir
es eben an diesem Roboter haben,

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00:03:17.000 --> 00:03:19.000
ist das aber wenig relevant.

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00:03:19.000 --> 00:03:24.000
Wir haben ein Messgerät, einen inkrementellen
Drehgeber hier am Roboter.

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00:03:24.000 --> 00:03:25.000
Der tut genau das.

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00:03:25.000 --> 00:03:28.000
Der misst also kleine Positionen

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00:03:28.000 --> 00:03:31.000
und zählt dabei die Zeit hoch

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00:03:31.000 --> 00:03:34.000
und kann daraus dann eine Momentangeschwindigkeit
bestimmen.

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00:03:36.000 --> 00:03:37.000
Während also das

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00:03:37.000 --> 00:03:41.000
Messen von Geschwindigkeiten nur begrenzt aufgelöst
geht,

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00:03:42.000 --> 00:03:45.000
kann ich tatsächlich Beschleunigungen sehr,
sehr gut messen.

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00:03:45.000 --> 00:03:49.000
Es gibt kleine integrierte Bauteile, die sich
heute in jedem Handy befinden,

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00:03:50.000 --> 00:03:53.000
die die Beschleunigung des Systems messen können.

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00:03:53.000 --> 00:03:56.000
Das a.

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00:03:57.000 --> 00:04:00.000
Und wenn ich das A kenne, wenn ich die Beschleunigung
kenne,

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00:04:00.000 --> 00:04:03.000
dann kann ich unter der Annahme, dass sie für
einen gewissen Zeitpunkt

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00:04:03.000 --> 00:04:07.000
konstant ist, dann auch wieder meine Geschwindigkeit
bestimmen,

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00:04:09.000 --> 00:04:14.000
als v istgleich v0 plus A mal

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00:04:15.000 --> 00:04:19.000
Delta T, wobei v0 also die Ausgangsgeschwindigkeit
ist.

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00:04:20.000 --> 00:04:24.000
Wenn ich das jetzt wieder sehr, sehr fein mache,
auch wieder zu unendlich

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00:04:24.000 --> 00:04:30.000
kleinen Zeitpunkten, dann komme ich jetzt von
dieser Summengleichung zum Integral.

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00:04:30.000 --> 00:04:34.000
Ich integriere also meine Beschleunigung

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00:04:34.000 --> 00:04:37.000
zur Geschwindigkeit, indem ich dann sage

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00:04:38.000 --> 00:04:39.000
v ist gleich

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00:04:40.000 --> 00:04:44.000
das Integral von A dt.

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00:04:45.000 --> 00:04:49.000
Aus der Geschwindigkeit kann ich jetzt die
Position bestimmen,

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00:04:50.000 --> 00:04:53.000
indem ich sage x ist gleich

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00:04:53.000 --> 00:04:57.000
das Integral von v dt.

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00:04:58.000 --> 00:05:02.000
Und wenn ich jetzt meine Beschleunigung nicht
aus dem Sensor nehme,

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00:05:03.000 --> 00:05:07.000
sondern wenn ich sie aus einem Modell entwickle,
indem ich zum Beispiel

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00:05:07.000 --> 00:05:11.000
die Antriebskraft vielleicht definiere und
sage

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00:05:11.000 --> 00:05:16.000
A ist gleich eins durch m  mal F,

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00:05:16.000 --> 00:05:19.000
Also Kraft generiert Beschleunigung am Roboter,

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00:05:20.000 --> 00:05:24.000
dann kann ich mir ein mathematisches Modell
definieren,

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00:05:24.000 --> 00:05:27.000
in dem ich dann aus der vorgegebenen Antriebskraft

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00:05:28.000 --> 00:05:30.000
eine Position des Roboters bestimme.

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00:05:30.000 --> 00:05:36.000
Und das kann ich nutzen,  um die Bewegung des
Roboters vorherzusagen

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00:05:36.000 --> 00:05:38.000
und zu beeinflussen, in der Form,

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00:05:38.000 --> 00:05:41.000
dass er zum Beispiel nicht gegen irgendwelche
Hindernisse dagegen fährt.

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00:05:42.000 --> 00:05:45.000
Und das ganze Problem kann ich lösen,

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00:05:45.000 --> 00:05:48.000
nur mithilfe der Differenzial und Integralrechnung.

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00:05:49.000 --> 00:05:51.000
Und wir nutzen das eben hier

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00:05:51.000 --> 00:05:55.000
an unserem mobilen Roboter, an unserem selbstfahrenden
Rollator.

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00:05:55.000 --> 00:05:59.000
Das ist ein Gerät,  das für die frühe Mobilisierung

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00:05:59.000 --> 00:06:02.000
im Krankenhaus eingesetzt werden soll, das
Patienten nach einer

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00:06:02.000 --> 00:06:06.000
Operation dabei unterstützen soll, schnell
wieder das Laufen zu lernen

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00:06:06.000 --> 00:06:11.000
und dann eben Ärzte und Pflegepersonal in
der Therapie unterstützen Soll.